NUMEROS COMPLEJOS

Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es

Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.

El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo.

El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Suma de Números Complejos

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Suma

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

Ejemplo de suma:

Resta

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

Producto de Números Complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:

(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i 2 = -1.
(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc)
Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:

Obsérvese que el término bdi² pasa a ser − bd. Eso es porque i² = − 1. Ejemplo:y asi queda

División de Números Complejos

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados

La división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado un número real:

si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

Números Complejos en Forma Polar o Trigonometrica

Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, dando su módulo y su argumento. Esta forma tambien se llama forma trigonométrica.

MÓDULO de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.

|z| = r

ARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.

arg(z) = a

Por lo cual z = r (cos ð + isen ð )

Numeros Complejos en Forma Forma Binómica

Forma binómica z = a + bi

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Fórmula de Moivre

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:

(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na

que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.

Operaciones con Numeros Complejos en Forma Polar

Potencia
La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n
Multiplicación
Se multiplican los módulos
Se suman los argumentosEjemplo:

El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

Expresando los complejos en forma trigonométrica:

División
Se dividen los módulos
Se restan los argumentos

División de números complejos

Sean z = (a,b) y z' = (c,d), y queremos calcular su cociente. Utilizando que 

tendremos que dividir dos números complejos es multiplicar uno por el inverso del otro. Siguiendo con el ejemplo tendremos que calcular el inverso de z' y multiplicarlo por z.

El inverso de z' es 

Si ahora lo multiplicamos por z = (a,b): 

Módulo y argumento. Argumento principal

Se llama módulo de un número complejo z = (a,b) a la distancia del origen de coordenadas al afijo de dicho número. Es decir, el módulo de z es  

y se representa por |z|.

Se llama argumento de un número complejo al ángulo que forma el semieje real con el segmento que une el origen de coordenadas y el afijo del número. Se representa por arg(z) o simplemente por a .

Es evidente que si a es un argumento de un número complejo z, entonces también lo es a + 2kp. Es decir que un número complejo tiene infinitos argumentos.

Se llama argumento principal de un número complejo al único argumento de éste que está en el intervalo (-p,p].

Inverso de un número complejo

Sea z=(a,b) y consideramos 

Si calculamos z·z' tenemos:

es decir z' es el inverso de z.

Cuando a² + b² = 0 no tiene sentido z', pero esto ocurre porque si a² + b² =0 entonces a=0 y b=0, o sea que z=(0,0)=0, y 0 no tiene inverso porque no se puede dividir por 0.

Potencias

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables. Se debe tener en cuenta la igualdad i² = − 1: